[대학원] 면접준비 - 이산수학

Q) power set의 정의
: 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합. 2에 n승
Q) power function의 정의
: 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로 하는 함수 x에 a승

 

Q) Mathematical induction이란?
: 수학적 귀납법. 모든 자연수가 어떤 주어진 성질을 만족시킨다는 명제를 증명하는 방법의 하나. 가장 작은 자연수가 그 성질을 만족시킴을 증명한 뒤, 만약 어떤 자연수가 만족시키면 바로 다음 자연수 역시 만족시킴을 증명하기만 하면, 모든 자연수에 대한 증명이 끝남.

Q) Relation의 정의는?
: cartesian product 의 subset
Q) Cartesian product 의 정의는?
: 공집합이 아닌 집합들로부터 새로운 집합을 만드는 방법. A X B는 A의 원소가 첫번째 원소, B의 원소가 두번째 원소인 순서쌍들의 집합

Q)Bijection의 정의는?
: 두 집합 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 것. 일대일 대응

Q) Equivalence relation이란?
: 동치 관계,

Q) Partial order relation, Total order relation

Q) Random variable

Q) Sample space
Q) Sample space가 갖는 조건

Q) Exponention distribution

Q) Poisson distribution

q) MST에 대해 설명 (최소신장트리)
Q) Kruskal, Prim
[Minimmum Spanning Tree]
Spanning tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리
* 각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소 비용이 얻어지는 것은 아니다.
* mst는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 spanning tree를 선택하는 것을 말한다.
* 즉, 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것.

[MST의 특징]
* 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.
* n개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 (n-1)개의 간선만을 사용해야 한다.(?)
* 사이클이 포함되어서는 안된다.

MST: Minimum Spanning Tree (최소 신장 트리)

 

최소 신장 트리는 가중치가 있는 무방향 그래프의 모든 노드를 포함하면서 사이클이 없고 가중치의 합이 최소가 되는 트리이다. 

연결 그래프가 주어질 때, MST를 구하는 알고리즘은 대표적으로 프림, 크루스칼 2가지가 있다.  (두 알고리즘은 비슷한시간 복잡도를 가지지만 나름의 장, 단점이 있다. )

 

[MST의 구현 방법]
1. Kruskal MST 알고리즘
greedy를 이용하여 네트워크의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것.
*과정
1) 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬
2) 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택
- 즉 가장 낮은 가중치를 먼저 선택.
- 사이클을 형성하는 간선을 제외
3) 해당 간선을 현재의 MST의 집합에 추가

(disjoint set에서 weighted union, collapsing find 자료구조를 이용하여 구현한다…?)

크루스칼 알고리즘은 먼저 모든 간선을 간선값으로 오름차순 정렬한 뒤, 각 정점에 번호를 부여한다. (이 번호는 각 정점의 그룹 정보를 의미한다. )

그 후 정렬된 간선들을 탐색하면서 간선의 시작점과 도착점이 이어져있는지를 그룹 정보를 다루는 Disjoint-set 알고리즘을 이용해 확인한다. 

 

 

2. Prim MST 알고리즘
시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장해 나가는 방법
* 과정
1) 시작 단계에서는 시작 정점만이 mst 집합에 포함됨.
2) 앞 단계에서 만들어진 mst 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장
- 가장 낮은 가중치를 먼저 선택
3) 위의 과정을 트리가 (n-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

일단 시작점을 아무 정점으로 선택한다. (이 정점은 MST를 구성하는 첫 원소가 된다. )

그리고 현재까지 구성된 MST의 원소(시작점)에 연결된 간선 중 가장 가중치가 작은 값을 가지는 간선을 골라 이어준 후MST의 원소로 추가한다. 

그리고 MST가 완벽하게 완성될 때까지 현재까지 구성된 MST의 원소들에 연결된 간선 중 가장 가중치가 작은 값을 고른후 이 정점을 MST의 원소에 추가해주면 된다. 

(이때 제일 작은 가중치 값을 구하기 위해 매번 정렬할 수 없으니까 heap을 사용한다. 정점을 추가할 때마다 pop, insert하면 된다.)

 

[자료구조]

[슈도코드]

(다익스트라의 코드와 매우 유사하다., 노드에서 방향이 없다는 것이 차이점)